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4️⃣ 모터 슬립과 모터 등가 회로

본 글은 이전 글과 이어집니다.

Intro.

이전 글에서 모터 고정자 및 회전자의 유도 기전력에 대해 살펴보았다. 또한, 고정자와 회전자의 서로 다른 운동(정지, 회전)에 따른 모터 슬립(Slip) 현상에 대해서 알아보았다.

슬립은 유도 전동기에서 가장 주요한 특징 중에 하나로, 본 챕터에서는 슬립에 대한 몇 가지 성질을 요약하고, 회전자 등가 회로를 유도해 고정자 등가 회로와 합쳐 전체 모터의 등가 회로를 유도해 볼 것이다.

해당 챕터에서 모든 대문자 수학 기호(예:

V_s

)는 실효값(RMS) 혹은 고정된 상수 값을 의미하고, 모든 소문자 수학 기호(예:

v_s

)는 시간에 따라 변화할 수 있는 변수를 의미한다.

슬립과 유도 기전력

그림 1. 회전자 도체의 유도 기전력

이전 글에서 모터 회전자의 회전 속도와 유도 기전력의 크기가 반비례한다는 것을 알 수 있었다. 이제 회전자가 정지된 경우

(f_r=0)

를 가정해보자. 이 때 회전자는 정지되어 있으므로, 식 (1)의 슬립 주파수

(f_{slip})

는 최대값(회전 자계의 회전 속도)과 같다.

결과적으로 식 (2)에 따라 회전자 도체에는 가장 큰 전압이 유도될 것이고, 이를

E_{r0}

로 표현할 수 있다. 이때 모터 유도 전압의 주파수는 식 (3)과 같이, 고정자 권선의 주파수와 동일

(f_{slip}=f_s)

하고, 이 상태에서 유도 전동기는 변압기와 동일한 역할을 한다. 결과적으로 고정자 권선과 회전자 도체의 유도 기전력은 식 (4)와 같이, 두 권선의 턴수 비(Turn Ratio)에 의한 차이만 있다.

f_{slip}=f_s-f_r

(1)

E_r=4.44f_{slip}N_r∅

(2)

E_{r0}=4.44f_sN_r∅

(3)

{E_s \over E_{r0}}≈{N_s \over N_r}

(4)

이 때,

E_s

는 모터 고정자의 유도 기전력,

E_{r0}

는 회전자의 최대 유도 기전력,

N_s

는 고정자의 턴(Turn, 유효권선 수) 수,

N_r

는 회전자의 턴 수이다.

그러나 회전이 시작되어 회전 운동이 발생하는 경우, 모터의 기전력은 최대 기전력

(E_{r0})

보다 항상 낮게 된다. 또한, 모터가 회전 자계의 회전 속도

(f_s)

와 동일한 속도가 되는 경우, 유도 기전력은 0이 되어 더 이상 토크가 발생하지 않는다. 결과적으로 유도 전동기는 항상 회전 자계의 속도(동기 속도)보다 낮은 속도로 회전할 수밖에 없다.

n_{slip}=n_s-n_r

(5)

s={{n_s-n_r} \over n_s}={n_{slip} \over n_s}

(6)

이 때,

s

는 슬립,

n_{slip}

는 슬립 회전수이다.

슬립 주파수는 회전 자계의 속도와 회전자의 회전 속도에 대한 상대 속도를 주파수로 표현한 것이다. 이를 다시 표현하면, 슬립은 동기 속도와 모터의 실제 회전 속도에 대한 상대 속도임을 알 수 있다. 이 상대 속도는 모터의 실제 회전 속도가 동기 속도보다 얼마나 느린 지를 나타내고, 이 크기는 유도 전동기가 생산해야 하는 토크와 관계되어 있다. 유도 기전력은 토크에 비례하므로, 부하 토크와 회전 속도는 반비례한다. 이 동기 속도

(n_s)

와 실제 모터 회전자의 회전 속도

(n_r)

의 차이를 슬립 속도

(n_{slip})

라고 하고, 식 (5)와 같다. 또한 식 (6)와 같이, 동기 속도에 대한 슬립 속도의 비를 슬립

(s)

이라 정의한다.

슬립은 유도 전동기 동작 시 0~1 사이의 값을 갖는데, 통상적으로 유도 전동기는 동기 속도에 가까운 속도로 운행하므로, 보통 0.05 이하로 매우 작다. 슬립은 유도 전동기에서 매우 중요한 요소로 효율, 토크, 역률, 전류 등의 유도 전동기의 모든 운전 특성들이 슬립에 의해 정의될 수 있다. 이제 슬립에 대해 정의하였으니, 편의상 앞서 유도한 유도 기전력과 동작 주파수 등을 슬립의 함수로 나타내면 다음과 같이 표현된다.

f_{slip}=f_s-f_r=sf_s

(7)

E_r=4.44f_{slipN_r}∅=4.44sf_sN_r∅=sE_{r0}

(8)

유도 전동기 등가 회로

그림 2. 회전자 등가 회로

이제 회전자 권선의 등가 회로를 유도해 모터 전체 등가 회로를 유도해 보자. 회전자 도체에는 식 (8)의 유도 기전력에 의한 전류가 흐르게 된다. 이 때, 회전자 권선의 저항을

R_r

, 누설 인덕턴스를

L_lr

이라 하면, 회전자 권선의 등가 회로는 그림 2 (a)와 같이 표현된다. 그러나 모터 회전자의 동작 주파수는

f_{slip}

이고, 모터 고정자 회로의 동작 주파수는

f_s

이기 때문에, 그림 2 (b)의 고정자 회로의 등가 회로와 이 회로를 결합할 수 없다. 따라서, 그림 2 (b)의 회전자 등가 회로의 전압과 임피던스를 슬립으로 나누어, 그림 3과 같이 고정자 회로의 동작 주파수

(f_s)

와 동일하게 만든다.

그림 3. 고정자 측에서 본 회전자 등가 회로

결과적으로 그림 3의 회전자 등가 회로는 고정자 측에서 본 회전자의 등가회로이다. 이제 마지막으로 고정자와 회전자 각각의 권선 비

(a={N_s\over N_r})

를 고려하면, 그림 4와 같이 결합된 전체 등가 회로로 표현할 수 있다. 이 때, 기호 ‘(Prime)은 고정자 측으로 변환된 회전자 측의 물리량을 의미한다.

그림 4. 유도 전동기의 전체 등가 회로

Conclusion

특히 이번 챕터에서는 모터 회전자의 등가 회로를 유도해 고정자 등가 회로와 결합하여 유도 전동기 전체 등가 회로를 유도하였다. 이를 위해 서로 다른 운동 조건에 있는 고정자와 회전자의 동작 주파수를 슬립이라는 물리적 현상을 바탕으로 동일하게 치환하였다. 이렇게 유도된 유도 전동기의 전체 등가 회로는 유도 전동기의 출력 토크 계산, 각종 전동기 시험 및 벡터 제어 등에 활용된다. 일반적인 전동기 시험법(무부하 시험 및 구속 시험 등)은 위의 등가 회로를 구성하는 여러 인자들을 구해 모터의 성능과 특성을 직접적으로 해석하는 과정이고, 이렇게 얻어진 여러 인자들을 이용해 제어에 사용하기도 한다.

이상으로 모터의 회전 원리 및 알아야 하는 여러 특성들에 대한 기초적인 소개를 마친다.