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에너지 전환 패러다임과 유도 전동기: (2) 고정자의 전압 방정식과 등가 회로

본 글은 이전 글과 이어집니다.

Intro.

이전 글에서 유도 전동기의 구성과 회전 원리를 살펴보았다.
이제 유도 전동기의 전압 방정식을 해석함으로써 앞서 설명한 회전 원리를 보다 깊이 이해하고, 이를 바탕으로 등가 회로를 유도해보려 한다. 이렇게 유도된 등가 회로는 유도 전동기라는 복잡한 시스템을 해석하기 용이하게 해주고, 결과적으로 슬립 및 토크, 그리고 이와 관계된 여러 전기적 특징들을 이해하는데 도움을 줄 수 있다.
본 챕터에서는 앞선 유도 전동기의 회전 원리를 간단하게 리뷰하고, 고정자의 전압 방정식을 해석해 등가 회로를 유도할 것이다.
해당 챕터에서 모든 대문자 수학 기호(예: VsV_s)는 실효값(RMS) 혹은 고정된 상수 값을 의미하고, 모든 소문자 수학 기호(예: vsv_s)는 시간에 따라 변화할 수 있는 변수를 의미한다.

유도 전동기의 전압 방정식

유도 전동기의 회전 원리를 다시 한번 살펴보자.
그림 1과 같이, 고정자 권선의 3상 교류 전류는 공극에 회전 자계를 생성한다. 그리고 이 회전 자계는 회전자 도체와 쇄교(Linkage)하여 유도 기전력을 발생시킨다. 결과적으로 회전자의 유도 전류와 회전 자계의 상호 작용으로 토크가 발생한다.
아래에서는 이 과정을 전압 방정식을 통해 다시 한번 살펴보고, 이를 이용해 등가 회로를 유도한다.
그림 1. 회전 자계의 이동 방향: (a) 3상 교류 전류, (b) 시간에 따른 회전 자계와 합성 기자력의 방향
1. 고정자 전압 방정식
고정자 권선의 전압 방정식은 식 (1)과 같다. 고정자 권선의 전압은 크게 두가지 성분으로 구분될 수 있다. 고정자에 교류 전압(vsv_s)을 인가하면 발생하는 전류(isi_s)와 권선의 저항(RsR_s)에 의한 전압 강하 성분, 그리고 권선에 쇄교하는 자속(λsλ_s)의 변화율(dλsdt\frac{dλ_s}{dt})이다.
vs=Rsis+dλsdtv_s= R_s i_s+\frac{dλ_s}{dt}
식 (1)
본 전압 방정식 해석의 목적은 어디까지나 회전을 발생시키는 힘을 이해하는 것에 있음으로, 이를 위해 앞선 식 (1)의 고정자 쇄교 자속은 직접적으로 회전에 기인하는 성분과 그렇지 않은 성분으로 분리한다.
따라서 고정자 권선의 전체 쇄교 자속의 변화율(dλsdt\frac{dλ_s}{dt})을 식 (2)와 같이, 고정자 권선에만 쇄교해 회전에 기인하지 않는 누설 쇄교 자속(Leakage Flux)과 고정자와 회전자 권선에 모두 쇄교해 직접적으로 회전자의 회전에 영향을 미치는 상호 쇄교 자속(Mutual Flux)으로 분리하여 해석한다.
λs=λls+λmλ_s= λ_{ls}+ λ_m
식 (2)
식 (2)를 식 (1)에 대입하면, 고정자 권선의 전압 방정식은 식 (3)의 형태로 유도된다. 여기서 LlsL_ls는 누설 인덕턴스, LmL_m는 자화(Magnetizing) 인덕턴스, imi_m은 자속을 발생시키는 자화 전류, ese_s는 고정자 권선의 유도 기전력이다.
vs=Rsis+dλlsdt+dλmdt=Rsis+Llsdisdt+Lmdimdt=Rsis+Llsdisdt+esv_s= R_s i_s+ \frac{dλ_ls}{dt}+\frac{dλ_m}{dt} = R_s i_s+ L_{ls} \frac{di_s}{dt}+L_m \frac{di_m}{dt} = R_s i_s+ L_{ls} \frac{di_s}{dt}+e_s
식 (3)
2. 고정자 등가회로
앞서 유도된 식 (3)을 이용해 고정자 권선의 등가 회로를 그리면 그림 2와 같이 표현된다. 여기서 fsf_s는 공급 주파수이다.
먼저, 공급 전원(VsV_s)에 의해 공급 전류(lsl_s)가 입력되면, 식 (3)과 같이 회로상 직렬 연결로 표현된 세가지 성분 - 고정자의 저항 성분(RsR_s)에 의한 전압 강하 / 누설 자속에 의한 성분 / 그리고 상호 자속에 의한 자화 성분 - 으로 나누어진다. 그러나 실제 고정자 권선 내부에서는 자속 생성 시 발생하는 손실로 인해 자속 발생에 필요한 여자 전류의 총합(II_∅)이 모두 실제 자화 전류(ImI_m)로 이용되지는 않는다.
자속이 생성될 때 권선에서는 필연적으로 와전류에 의한 손실과 히스테리시스 손실이 발생한다. 이를 철손(RcR_c)으로 고려하면, 그림 2의 병렬회로 부분과 같다. 자속 발생에 필요한 전체 여자 전류(II_∅)는 철손에 의한 손실 전류 (IcI_c)와 실제 자화되는 전류(ImI_m) 성분으로 분리되는 것이다. 결과적으로 이렇게 발생되는 유도 기전력 (ese_s)은 고정자에 공급되어 전원 역할을 하게 되고, 직접적으로 회전에 기인하게 된다. 그러나 유도 전동기는 슬립(Slip)이 존재하므로, 회전자의 동작 주파수는 고정자의 공급 주파수(fsf_s)와 상이하다. 마지막으로 이를 고려해 회전자에 공급되는 전류(IrI_r)가 아닌 고정자 측으로 변환된 회전자에 공급되는 전류(IrI'_r)로 표현하면, 그림 2와 같이 고정자의 전체 등가 회로가 완성된다.
이에 대해서는 다음 챕터에서 더 자세히 논의될 것이다.
그림 2. 고정자 권선의 등가 회로

Conclusion

이번 챕터에서는 고정자 측의 전압 방정식을 유도 전동기의 회전 원리와 결부시켜 분해하고, 해석하였다. 이 과정에서 실질적으로 회전에 유효한 성분을 이해할 수 있었고, 이를 통해 등가회로를 유도할 수 있었다.
다음 챕터에서는 본 챕터에서 다루지 않았던 회전자 측에 유도된 기전력을 주로 다루고, 슬립 현상의 원인과 회전자 측에 인가된 유도 기전력에 의한 여러 물리량들을 분석해 볼 것이다.

[참조]

[1] 모터제어 (김상훈 저)
에너지 전환 패러다임과 유도 전동기시리즈
(2) 고정자의 전압 방정식과 등가 회로
(4) 슬립과 모터 등가회로 - coming soon…!

이 글을 쓴 사람

반 영 준 | 감마(γ)팀
반만 아는 반(Half)박사 (= 석사) 반영준 입니다. 과학, 철학, 인문학, 경제학 등 다양한 분야를 반만 알고 있지만 GuardiOne Motor에 대한 마음은 One!
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